数据结构 | 图的遍历

图的深度优先遍历(DFS)

深度优先搜索（depth-first search）是对先序遍历（preorder traversal）的推广。我们从某个顶点 v 开始处理 v，然后递归地遍历所有与 v 邻接的顶点。

实现思想：

在深度优先搜索中，对于最新发现的顶点，如果它还有以此为起点而未探测到的边，就沿此边继续探测下去，当节点 v 的所有边都已被探寻过，探索将回溯到发现节点 v 有那条边的始节点，这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点位置。

如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个过程反复进行直到所有节点都被发现为止。

结合上图说明：左图是邻接表形式，按照上面的实现思想: 假定我们首先发现顶点0， 然后发现它还有以此为顶点而未探测到的边(0,1),(0,4)， 探测完毕后，就回溯到始节点，然后到下一个节点1， (1,0)已探测过(无向图) ，则直接探测(1,4)，然后以此类推。

为避免图中的圈造成的无限循环，当我们访问一个顶点 v 的时候，由于我们已经到达了该点处，因此需要将该点标记为已访问，对于未被标记的所有邻接顶点递归调用深度优先搜索。

#include <iostream>
#include <list>

using namespace std;

class graph
{
public:
	graph(int v) :vertex(v){
		adj = new list<int>[v];
	}

	void addEdge(int v, int w);
	void DFS();
	void DFS(int v);

private:
	int vertex;
	list<int> *adj;
	void DFSUtil(int v, bool visited[]);
};

//v:边的首顶点；w：边的尾顶点
void graph::addEdge(int v, int w)
{
	adj[v].push_back(w);
}

void graph::DFSUtil(int v, bool visited[])
{
	visited[v] = true;//置位
	cout << v << " ";

	list<int>::iterator iter;
	for (iter = adj[v].begin(); iter != adj[v].end(); ++iter)
	{
		if (!visited[*iter])//表明未被访问过
			DFSUtil(*iter, visited);//跳转到*iter
	}
}

//vStart:搜索的起始顶点
//指定的起始顶点必须位于图内可达到的顶点
//如果图不连通，有可能访问不到某些节点
void graph::DFS(int vStart)
{
	bool *visited = new bool[vertex];
	memset(visited, false, vertex);

	DFSUtil(vStart, visited);
}

//不需要指定起始顶点
//不管图的结构如何，都可以搜索到所有节点
void graph::DFS()
{
	bool *visited = new bool[vertex];
	memset(visited, false, vertex);

	//从V0开始深度优先遍历，Vk-1是最后一次深度优先遍历开始的顶点
	for (int i = 0; i < vertex; ++i)
	{
		if (!visited[i])
			DFSUtil(i, visited);
	}
}
int main()
{
	graph g(5);
	g.addEdge(0, 1);//生成无向图
	g.addEdge(0, 4);
	g.addEdge(1, 0);
	g.addEdge(1, 4);
	g.addEdge(1, 2);
	g.addEdge(1, 3);
	g.addEdge(2, 1);
	g.addEdge(2, 3);
	g.addEdge(3, 1);
	g.addEdge(3, 4);
	g.addEdge(3, 2);
	g.addEdge(4, 3);
	g.addEdge(4, 0);
	g.addEdge(4, 1);

	g.DFS();

	return 0;
}

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图的广度优先遍历

该方法按层处理顶点：距开始点最近的那些顶点首先被访问，而最远的那些顶点最后被访问。这很像对树的层序遍历。

为方便后面的介绍，重新贴一下邻接表的存储方式图：

我们以上图的邻接表存储方式为例对广度优先搜索进行说明： 按照前面BFS的定义，我们首先访问所有与开始顶点最近的顶点，然后访问所有距离递增的顶点，最远的顶点则是最后被访问。 假定开始顶点为1，与顶点1最近的顶点有四个：0、4、2、3。邻接表存储有个好处就是，所有最近且距离相等的顶点都位于该顶点位置的链表中。 首先我们访问完所有与开始顶点1最近的顶点（0、4、2、3），很容易得知，与开始顶点次近（距离增1）的顶点恰好是最近顶点的最近顶点，也就是与（0、4、2、3）顶点最近的顶点。前面可理解为不断的替换开始顶点，已经访问过的顶点坐标记，保证不会被重复访问，否则进入无限循环。这样依次推进，直至访问完所有顶点。

//vStart:搜索的起始顶点  
//指定的起始顶点必须位于图内可达到的顶点  
void graph::BFS(int vStart)  
{  
    bool *visited = new bool[vertex];  
    memset(visited, false, vertex);  

    list<int> queue;//利用链表构建一个队列  

    visited[vStart] = true;//表示开始访问  
    queue.push_back(vStart);//开始顶点入队  

    list<int>::iterator iter;  

    while (!queue.empty())  
    {  
        vStart = queue.front();//这里有个优先级，邻接表中链表的头节点优先级最高，依次降低  
        cout << vStart << " ";  
        queue.pop_front();//已访问顶点出队  

        //将与开始顶点最近的顶点，也就是链表中的顶点依次入队  
        for (iter = adj[vStart].begin(); iter != adj[vStart].end(); ++iter)  
        {  
            if (!visited[*iter])  
            {  
                visited[*iter] = true;//标记即将访问，事实上，进入队列了就是要访问的  
                queue.push_back(*iter);//从链表头节点到尾节点依次入队  
            }  
        }  
    }  
}  

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深度优先搜索与广度优先搜索的区别：

深度优先搜索是按照一定的顺序先查找完一个分支，再查找另一个分支，直到找到目标，或是访问完所有节点（连通）；广度优先搜索是从初始状态一层一层向下找，直到找到目标，或是访问完所有节点（连通）。

深度优先搜索通过栈来实现，而广度优先搜索通过队列来实现。

通常深度优先搜索不全部保留结点，扩展完的结点从数据库中弹出删去，这样，一般在数据库中存储的结点数就是深度值，因此它占用空间较少。所以，当搜索树的结点较多，用其它方法易产生内存溢出时，深度优先搜索不失为一种有效的求解方法。 广度优先搜索算法，一般需存储产生的所有结点，占用的存储空间要比深度优先搜索大得多，因此，程序设计中，必须考虑溢出和节省内存空间的问题。但广度优先搜索法一般无回溯操作，即入栈和出栈的操作，所以运行速度比深度优先搜索要快些。

上面说的通俗点就是：广度优先搜索是从中心点层层向外推进，走完最里层房间，然后走第二层的所有房间，直到第二层的所有房间全部走完，再走第三层的房间（这里不同的是同一层的所有房间之间是可以跳转的）。而深度优先搜索则是走死胡同，从中心点开始走，一路走，直到最后无路可走，然后退回来一层，再进入下一层的一间房间（只有同层的房间可以跳转，不同层的房间需要退回来），再走其余房间。