数据结构 | 最短路径问题
1. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法:
1. 定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉) 算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。 主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图$G=(V,E)$ 中，假设每条边 $E[i]$ 的长度为 $w[i]$，找到由顶点 $V_0$ 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
2.算法描述
算法思想 : 设$G=( V,E)$是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
算法步骤 :
a. 初始时，S只包含源点，即$S={v}$，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则 $<u,v>$ 正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则$<u,v>$权值为 $\infty$。 b. 从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 c. 以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 d. 重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
3. 代码实现
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const int MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];
int A[MAXUNM][MAXNUM];
void Dijkstra(int v0)
{
bool S[MAXNUM]; // 判断是否已存入该点到S集合中
int n=MAXNUM;
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
dist[i] = A[v0][i];
S[i] = false; // 初始都未用过该点
if(dist[i] == MAXINT)
prev[i] = -1;
else
prev[i] = v0;
}
dist[v0] = 0;
S[v0] = true;
for(int i=2; i<=n; i++)
{
int mindist = MAXINT;
int u = v0; // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
for(int j=1; j<=n; ++j)
if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
{
u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
mindist = dist[j];
}
S[u] = true;
for(int j=1; j<=n; j++)
if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
{
if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径
{
dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist
prev[j] = u; //记录前驱顶点
}
}
}
}
2. 佛洛依德(Floyd)算法
1.定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。 Floyd-Warshall算法的时间复杂度为$O(N^{3})$，空间复杂度为$O(N^{2})$
2.算法描述
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。
用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）
从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能:
- 是直接从i到j，
- 是从i经过若干个节点k到j。
所以，我们假设$Dis(i,j)$为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查$Dis(i,k) + Dis(k,j) \lt Dis(i,j)$是否成立. 如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置 $Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)$，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
3. 代码:
伪算法:
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// dist(i,j) 为从节点i到节点j的最短距离
For i←1 to n do
For j←1 to n do
dist(i,j) = weight(i,j)
For k←1 to n do // k为“媒介节点”
For i←1 to n do
For j←1 to n do
if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路径？
dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)
代码实现：
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typedef struct
{
char vertex[VertexNum]; //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
int n,e; //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;
void Floyd(MGraph g)
{
int A[MAXV][MAXV];
int path[MAXV][MAXV];
int i,j,k,n=g.n;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
A[i][j]=g.edges[i][j];
path[i][j]=-1;
}
for(k=0;k<n;k++)
{
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
{
A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
path[i][j]=k;
}
}
}